Какой-то js-скрипт добавляет к полю ввода input.searchform-s стили display:none и visibility:visible. Вам надо display:none убрать, visibility:visible оставить, затем скорректировать dom и стили его и остальной формы поиска (находящуюся в .text-near-menu; скрипты копируют форму ещё куда-то в #top-bar, оно там скрыто и находится рядом с синей круглой штукой сверху справа; так что форм на странице две).
Навскидку сверстать можно как-нибудь так:
input.searchform-s, оберните в див, которму дайте padding-right:Xpx, где Xpx — ширина бокса с пиктограммой с лупой (где-то 16-20px), и position:relative.
Сам input — width:100%, outline:none и border:none.
Рамку и отступы можно привязать прямо к форме или обернуть всё её содержимое в див и привязать к нему.
Ссылку a.submit уберите, пиктограмму установите в качестве фона на input.searchsubmit, и задайте ему float:right, ширина и высота — размер пиктограммы (16-20px); и пустой value. Также перенесите на него события click с a#trigger-overlay.
Затем всё это надо покрасить, выровнять и отладить.
Как-то так…
