Уведомления не отправляются

Долго пытала хостера

И что говорит хостер?

На данный момент отправка сообщений с помощью данной функции работает корректно с Ваших сайтов.

Они могли бы и в логи залянуть.
А хостер — не рег.ру случаем?

А адрес вида wordpress@вашсайт.ру на хостинге заведён? Заведите и проверьте. Если не поможет — провеяем правдивость слов хостера так:

Создаете пхп-файл (например testmail.php) с содержимым:

<?php
if (mail("nobody@example.com", "Тема письма", "Текст сообщения",
"From: wordpress@example.com \r\n")) {
    echo "Сообщение отправлено. Функция mail работает";
} else {
    echo "Ошибка отправки. Проблема на стороне хостера.";
}
?>

где,
nobody@example.com — кому отправлять
wordpress@example.com — от кого (wordpress@вашсайт.ру)

Положите его в корень ВП и раз десять вызовите (httр://вашсайт.ру/testmail.php). Если всё время без ошибок — значит продолжим искать дальше.

nic.ru,

Да, сорри, перепутал. Его и имел ввиду.

Меняйте его. Это не тот хостер, которым можно пользоваться. Проверено не раз. См тут