Как сделать всплывающее форму?

Используйте плагины форм обратной связи. Или поискать на английском языке — вот что я нашел в один клик https://www.wpbeginner.com/wp-tutorials/how-to-allow-users-to-submit-posts-to-your-wordpress-site/
Если всё это не устраивает — попросить написать такой плагин с точность до дизайна