Проблема (неизвестная) с отправкой писем через сайт

Приветствую!
Вот такая проблема возникла:

Проблема №1: Не приходят письма с паролем при регистрации на сайте.
Пробовал сам, просил других пользователей зарегистрироваться с разных ящиков (mail.ru, yandex.ru, gmail.com)
Пароль для входа не приходит на почту.
Думал — глючит php mail() — но ответ от провайдера был таков:

Как мы видим, функция mail на Вашем аккаунте отрабатывает корректно, это можно проверить в тестовом скрипте, реализующем простейшую
задачу отправки письма по заданному адресу:
http://wanthome.ru/mail.php

Скорее всего, при указании перед отправкой e-mailа отправителя, происходит попытка одновременной отправки как письма оповещения
владельцу сайта, так и отправки письма на указанный в форме e-mail.

На нашем хостинге минимальное время, между отправками 2-х писем, является значение в 350мс. Вы можете обратиться к разработчикам сайта/
плагина который осуществляет отправку писем, для того чтобы они внесли в код скрипта, с помощью которого происходит отправка писем,
задержку между отправками, например в 1 секунду, сделать это можно с помощью функциии php sleep().

Проблема №2: В форме обратной связи или форме подачи объявления на сайт (плагин Contact Form 7) вставить поле e-mail — письмо не отправляется.

Есть две формы отправки сообщения.

ТУТ
Вот эта форма отсылает сообщение о пользователя, причем с фото (3 шт.) превосходно

А эта форма точно такая же, но добавлена строка «Введите свой E-Mail».
ТУТ

не отправляется форма, выдавая ошибку, ПОТОМУ КАК ВСТАВЛЕНА СТРОКА ВВОДА EMAIL

Даже стандартная форма отправки сообщения, где Имя, E-Mail, тема сообщения и сообщение не отправляется, а если из нее убрать строку E-Mail — отправляется без ошибок.

Буду очень признателен за помощь по двум проблемам!