Страница или публикация — что лучше?

меню с разделами, которые будут служить в качестве категорий-тем

Наоборот: сначала рубрики, потом из них собирается меню. Тут вам не джумла какая-нибудь :))))

Что лучше сделать — публикации под категориями или страницы под родительскими страницами?

В большинстве случаев — лучше записи (они же посты, названные Вами «публикации»). Но все зависит от того, что будете публиковать, какие атрибуты записей имеют вес (если дата — однозначно записи) и прочие тонкости.

Можно ли создавать посты без блока /category/ в URL адресе?

Да. Админка → настройка постоянных ссылок. Там увидите, а что не увилите, на то там ссылка есть.

Есть ли виджеты или другие способы отображать посты\страницы из определенной категории/родительской страницы?

Да. И как правило, более одного.

В WP принято использовать статические страницы в двух случаях: если там «нетленка» (контакты, о нас и т.п.) или если нужно прикрутить нечто кастомнное, очень сильно отличающийся по виду и/или функционалу от обычного, традиционного содержимого. Создаваемые плагинами спецстраницы (корзина, чекаут, карта сайта и т.д.) подходят под второй случай, хотя и реализуются не скриптом-шаблоном, а шорткодом. Возможно, сейчас это Вам непонятно, но в будущем почти наверняка пригодится.