Интегрирование виджета

Код есть, а вот куда ставить — не ясно.

Используйте плагины для этого.
Напр https://wordpress.org/plugins/dco-insert-analytics-code/

А можно гайд для совсем рукожопов?

Для чего?
Вы поставили плагин? Видели там поля куда вставлять?

Вот так выглядит код:

Первый шаг — плагин выше.
Второй шаг — код вставить в виджет «html-код»

Во время визуальной настройки виджета кнопку видно. При простом просмотре сайта — нет.

Вижу, что коды задармы присутствуют в коде сайта.
Почему не ничего не выводится с ходу трудно сказать, но для начала стоит отключить другой чат.
И плагины безопасности, кеширования и «оптимизации ВП», если таковые имеется тоже отключить.

Увы, звонок не появился.

Я вижу появился.

Его видно и в данный момент?

Да. По нескольким страницах прошелся — есть.

Мб просто очистить кэш?

Может.
Проверяйте в приватном режиме браузера.

И да. я обратил внимание что она появляется с небольшой задержкой. Не выяснял причин, но глядя на тему — скорее всего lazzyload-функции темы влияют.