Как синхронизировать пользователей на двух разных сайтах?

у вас три варианта.

1. самый лучший
перейти в режим мультисайта, будет одна установка движка, но несколько сайтов
БД пользователей общая
плюс — пользователи могут иметь разные роли на разных сайтах

2. средствами MySQL использовать Federated хранилище для таблиц второго сайта
wp_user
wp_usermeta

3. чуть менее сложный вариант чем 2.
https://codex.wordpress.org/Editing_wp-config.php

define( ‘CUSTOM_USER_TABLE’, $table_prefix.’my_users’ );
define( ‘CUSTOM_USER_META_TABLE’, $table_prefix.’my_usermeta’ );

первый сайт может иметь префикс таблиц wp_
второй — другой префикс, но таблицы в той же базе
определяете CUSTOM_USER_TABLE и CUSTOM_USER_META_TABLE для второго сайта как таблицы первого

define( 'CUSTOM_USER_TABLE', 'wp_users' );
define( 'CUSTOM_USER_META_TABLE', 'wp_usermeta' );