Как заставить плагин All-in-One WP Migration скачивать базу сразу на компьютер?

Еще можно сменить Хостинг.

И можно самому модифицировать этот плагин, добавив в него необходимый функционал. (правда, возникнет небольшая проблема с обновлениями. но — это тоже решается, просто добавится некоторая ручная работа после обновлений плагина.)

Все же полагаю, что этот плагин является самым удобным и универсальным для бэкапа и миграции WP.

тем не менее, у него есть большой минус.
Файл пакета который он создает, имеет свой собственный формат. И обычными простыми способами он не открывается. Ситуация, когда необходимо взять только один какой-то файл из пакета из простой в два клика превращается в необходимость произносить короткие, но емкие выражения.

(хотя, это тоже можно модифицировать…)