headonfire

Значит надо смотреть в сторону строчки, которая сразу над ней:

$post_content = apply_filters('the_content', $post_content);

Здесь применяются на лету фильтры для the_content (контента из визуального редактора). WordPress применяет ряд стандартных фильтров, но, вполне возможно, что ваша тема хукается в этот фильтр и применяет свой, вырезающий теги. Вам в файлах вашей темы надо найти подобную конструкцию:

function some_function_name() {
    ...
}
add_filter( 'the_content', 'some_function_name' );

где some_function_name будет какая-то функция темы, вероятнее всего с префиксом g7_. Возможно, определение функции и строчка add_filter() будут в обратном порядке (сверху фильтр, под ним функция).

Найдите в коде где определяется функция g7_post_content() и покажите нам ее содержимое. Там должны быть хуки, через которые можно модифицировать вывод. Если их нет — править надо именно ту функцию. Она, вероятнее всего, вырезает html перед выводом. Как только будет обнаружено место, в котором происходит это членовредительство — верните все как было и поправьте только эту функцию.

@k_morgan — волнует. Поэтому на базе этого бага я постучался к разработчику плагина, который я использую (не WP Super Cache) и пилим эту тему. WP Touch не интересен в принципе.

@searchingman адаптивный дизайн это хорошо, но не всегда достаточно. Как минимум, на мобильных устройствах некоторые тяжелые блоки можно не грузить вообще. Не прятать с помощью display:none, а вообще не запрашивать. Не грузить ненужные скриптовые библиотеки, и т.д. Поэтому адаптивный дизайн + wp_is_mobile() в паре делают хорошее дело. А плагин кеширует ту версию, которая попалась первой, что не есть правильно. Мобильный и десктопный кеш должны быть разные.

Это несколько плагинов.

1. Вход через соцсети (учитывая, что понадобятся ВК/ОК и прочий хлам)
https://wordpress.org/plugins/ulogin/ — через сторонний сайт uLogin
https://wordpress.org/plugins/wordpress-social-login/ — полностью White Label решение, но оно больше developer-friendly

2. Дальше понадобится управление юзерами / профайлами, скорее всего на фронтенде (без захода юзеров в админку WP) + ограничение прав на доступ / контент. Тут целая масса решений, какое выбрать — даже не решусь советовать. Надо смотреть по техническому заданию и пробовать.
https://wordpress.org/plugins/memberful-wp/
https://wordpress.org/plugins/ultimate-member/
https://wordpress.org/plugins/wp-members/
https://wordpress.org/plugins/s2member/
https://wordpress.org/plugins/users-ultra/
и так далее…

3. Собственно, продажа контента + прием платежей. Упомянутый выше https://wordpress.org/plugins/memberful-wp/ в Pro версии предлагает платный контент, но не помню что там с формами оплаты. Если нужно принимать через Qiwi, Robokassa и подобные «близкие сердцу» шлюзы — возможно придется завернуть все в форме цифрового товара на базе WooCommerce. Ну или писать биллинг самому.

P.S.: Какую тему использовать — это как раз самая мелкая из проблем 🙂

лучше поставить «резиновую» тему адаптивную под любое устройство и не понадобится кеш (выборочно) отключать

Не всегда вариант. Правильный mobile-friendly сайт — это не только responsive layout, но и адаптированный, облегченный контент. Часть блоков на мобильной версии может (и должна) быть не нужна, а прятать их с помощью display:none; — грязнейший хак. Для отключения ненужного контента (или замены) используется проверка wp_is_mobile(). С помощью ее же к body можно дописать классы is-mobile/is-not-mobile, и через них стартовать нужные скрипты — десктопные/мобильные соответственно.

П.С. а так же можете подсказать что за плагин отображения собственной страницы на этом сайте?

bbPress?

добавить в личную информацию пользователя дополнительные поля, которые редактировать может только администратор

Pods
Advanced Custom Fields
CMB2
и так далее.

В записях у меня новости, а для страниц у меня установлен плагин Advanced Custom Fields (дополнительные поля) , которые я заполняю и потом вывожу на страницу. Дизайн у страниц и записей разный

Возможно, пришло времяя почитать о Custom Post Types?