@wpgear благодарю. Теперь всё ясно на 100%. Оставлял комментарии, нажимая Ctrl+/ в Sublime text. Казалось, что всё правильно.
Проблему удалось решить довольно необычным способом.
Решил создать новую тему. Пустую. Скачал базовые файлы с underscores.me. Установил эту «пустую» тему. Проверил — медиафайлы добавляются, все в порядке.
Начал экспериментировать. Копировал в новые пустые файлы код из моей темы. По одному файлу. После каждого проверял, работает ли загрузка.
Всё работало, пока я не скопировал свой functions.php! Так я выяснил, что проблема в нем.
Удалил всё из functions.php, начал добавлять свойства по одному.
В итоге выяснил, что загрузка медиафайлов работает только в том случае, если… в functions.php нет ни одного комментария! Да, только если отсутствуют <!— —>